ПОСЛЕСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Можно ли выразить корни данного уравнения
с какими угодно численными или буквенными
коэффициентами в радикалах - вот вопрос,
на который мы предлагаем исчерпывающий ответ.
Э. Галуа [22]

Вы прочитали книгу об удивительном человеке - Эваристе Галуа, в юном возрасте обогатившем математику выдающимися открытиями. Дальма не скрывает восхищения своим героем, и это чувство постепенно передается читателю, однако суть математических открытий Галуа так и остается за кадром (см. характерное в этом отношении примечание автора) Чем же тогда отличается герой книги от высмеиваемых им самим ферматистов и рыцарей квадратуры круга [23], повсеместно гонимых и не признаваемых современниками?
Человек - это те поступки, какие он совершил, и есть только один путь к сознательному восхищению, равнодушию или негодованию по поводу этих поступков: узнать и понять их. Издержки популяризации, увы, неизбежны, читатель-неспециалист слишком многое вынужден бывает принимать на веру, и потому так живучи в широкой публике всевозможные мифы и заблуждения, - например, об отношениях между реально жившими Моцартом и. Сальери нередко мы судим по трагедии А. С. Пушкина, а о Петре Первом - по романам о нем, хотя специалисты-историки давно установили, что многое было не совсем так или совсем не так [24]. Грех некоторых наших научно-популярных изданий состоит, в частности, в том, что изложение сути дел и научных результатов подменяется в них перечислением регалий - степеней, званий, наград и т.п. Нет нужды доказывать, сколь пагубна такая реклама, плодящая не ученых, а карьеристов. А какой карьерой мог похвалиться тот же Галуа? Учился в школе - из института выгнали - сидел в тюрьме - убит на дуэли - рукописи потеряли... Не густо. Между тем память о нем как гордую и печальную песню передают поколения...
Постараемся же понять, чем занимался Галуа в математике и что он сделал.

1. Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

а0xn + а1xn-1 + ... + аn = 0

- ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 =/= 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Уместно напомнить, что сам термин "алгебра" происходит от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми (т. е. Мухаммеда [25] из Хорезма) "Аль-джебр аль-мукабала", в котором излагались правила ("алгоритмы") решения такого уравнения при n = 1 и 2. Если прибегнуть к современной символике, появившейся значительно позже, то правила Мухаммеда позволяют выразить корень уравнения а0х + а1 = 0 через его коэффициенты формулой , а корни
квадратного уравнения а0х2 + а1х + a2 = 0 - известной школьной формулой

.

Такова была - в современной символике - высшая алгебра IX века.

Какие алгебраические операции участвуют в формулах Мухаммеда? Четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение, деление - и извлечение корней или радикалов, в данном случае квадратных. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти и для любой другой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты с помощью перечисленных операций, т. е., говоря более кратко, решали бы уравнение в радикалах. Однако "мрачное средневековье" оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела. Освобожденная от средневековой мистики и тумана, она вовсе не так сложна.

2. Пусть сначала n = 3, т. е. рассматривается уравнение

а0х3 + a1x2 + а2х + а3 = 0.

Легко проверить, что если мы положим – где у - новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения

y3 + py + q = 0

где р, q - новые коэффициенты, выражение которых через старые читатель легко выпишет сам. Счастливая догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать у в виде суммы у = u + v, где , u, v -два новых неизвестных. Для них наше уравнение перепишется - после небольшой перегруппировки слагаемых - так:

u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

 Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое-нибудь условие - лучше всего

Зuv + р = 0,

тогда исходное уравнение примет совсем простой вид

u3 + v3 +q = 0.

Это означает, что сумма кубов u3, v3 должна равняться - q, а их произведение - . Следовательно, сами u3, v3 должны быть корнями квадратного уравнения

а для него формула уже известна. В итоге получается формула

причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении , как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.
Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего, подобно предыдущему, положим , тогда дело сведется к решению уравнения вида

y4 + py2 + qy + r = 0

Дополнив у4 до (y2 + z2), т. е. прибавив и вычтя в левой части 2zy2 + z2, где z - вспомогательное неизвестное, получим

(y2+z)2 - [(2z - p)y2 – qy + (z2 - r)] = 0.

Подберем теперь z так, чтобы квадратный трехчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом; для этого, как известно из школьной теории квадратных уравнений, нужно, чтобы его дискриминант равнялся нулю, т е. чтобы было

q2 – 4(2z - p) (z2 – r) = 0.

Можем ли мы решить это уравнение относительно z? Да, можем, так как оно кубическое. Пусть z0 - какой-нибудь его корень (даваемый формулой Кардано), тогда исходное уравнение перепишется в виде

[(y2 + z0) - (...)] * [(y2 + z0) + (...)] = 0,

где многоточия означают многочлен не более чем первой степени от у, оба раза один и тот же. Остается написать формулы для корней квадратных трехчленов, оказавшихся в квадратных скобках, и все четыре корня исходного уравнения будут найдены. Детальные вычисления заинтересованный читатель проведет без большого труда уже самостоятельно.

3. Как развивались события дальше? Радужные надежды, появившиеся было в связи с достигнутыми успехами, увы, не оправдались. И хотя искусство алгебраических вычислений к XIX веку чрезвычайно возросло - вместе с общим подъемом математической культуры, - самые изощренные попытки решить в радикалах уравнение общего вида (т. е. с буквенными коэффициентами а0, а1,.. , an) при n 5 одна за другой терпели неудачу. В конце концов отчаяние перешло в растущую уверенность, что таких формул просто не существует, потому-то и не удается их найти. Уверенность эта вселяла новые надежды, но она же ставила задачу на совершенно другой уровень: в самом деле, понятно, хотя бы в принципе, как найти формулы определенного вида, если они существуют, - перебирай одну за другой, пока не найдешь нужную, - но как доказать, что требуемых формул не существует? Нужен был принципиально новый подход. На этот раз он не заставил себя долго ждать - уже в 1824 году молодой (и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение общего вида, при n 5 действительно не существует. В конце послесловия мы еще вернемся к этой замечательной теореме и поясним, как она вытекает из основной теоремы Галуа, а сейчас только отметим, что сама эта теорема Абеля и особенно предшествовавшие ей работы Лагранжа в огромной степени стимулировали работу юного Галуа. Возможно, в наш скептический век теорема Абеля не кажется столь уж неожиданной - действительно, почему, собственно, четырех арифметических действий и извлечения радикалов должно быть достаточно для решения любого уравнения? Однако полтораста лет назад, в романтическую пору "бури и натиска", когда и положительный ответ казался еще возможным, именно проблема разрешимости уравнений в радикалах безраздельно господствовала в алгебре, владея умами лучших математиков. Теорема Абеля дала отрицательный ответ только для уравнений общего вида, т. е. с буквенными коэффициентами а0, а1, …, an, но, разумеется, многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение х90 + 5x45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи - нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т. е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам a0, а1, …, an любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет. Одна из важнейших заслуг Эвариста Галуа как раз в том и состоит, что он дал требуемый критерий. Чтобы привести точную формулировку критерия Галуа, нам понадобится целая система важных алгебраических понятий - перестановка, группа, поле, автоморфизм, полициклическая матрёшка. Подчеркнем, что не все из этих понятий имелись у самого Галуа, а те, что были, порою только позднее получили точную современную трактовку, но это, конечно, нисколько не умаляет значения его первопроходческих работ.

4. Сначала - о перестановках. Пусть имеется n предметов, которые мы условимся обозначать первыми натуральными числами 1, 2, ..., n. Их перестановкой называется преобразование множества этих предметов, записываемое таблицей из двух строк

где в нижней строке написаны те же самые числа 1, 2,. ... n, но, вообще говоря, в другом порядке; таблица означает, что 1 переходит в i1, 2 - в i2. и т. д. Подчеркнем, что одна и та же перестановка допускает несколько разных записей, так как важно только, что под чем стоит в таблице. Например,

Из разных записей одной и той же перестановки чаще всего выбирают ту, где в первой строке числа идут по порядку, но это совсем не обязательно - иногда бывают удобнее другие записи.
Вот пример появления перестановок в геометрии или кристаллографии: если задан какой-нибудь многогранник или кристалл - скажем, куб, - то можно занумеровать его вершины числами 1, 2, . . ., n, и тогда всякое преобразование многогранника (кристалла), заключающееся в совмещении его с самим собой, будет записываться перестановкой вершин. Например, поворот куба

вокруг диагонали 17 на угол 120° по часовой стрелке, если смотреть с вершины 1, записывается перестановкой

Конечно, перестановки и сами по себе интересны, но особенно интересно их умножение. Вообще, произведением двух преобразований а, b называется такое третье преобразование с, которое равносильно последовательному выполнению сначала преобразования а, а затем b. Стоит предостеречь читателя, что далеко не всегда ab = ba, - на первый взгляд это кажется странным (с точки зрения привычного умножения чисел), но если вдуматься, то удивление исчезает: представьте себе, что преобразование а состоит в том, что вы надеваете рубашку, a b - надеваете пиджак, понятно, что ab =/= ba!

Поупражняйтесь теперь на преобразованиях куба: если а - описанный выше поворот, b - зеркальное отражение куба относительно горизонтальной плоскости, проходящей через центр, то что будет преобразованием аb? А преобразованием bа? И будет ли аb равно bа? Какие перестановки вершин отвечают всем этим преобразованиям куба? Сколько всего различных преобразований куба? А всех перестановок 8 символов?

Поскольку перестановки - тоже преобразования, то, в соответствии с нашим общим определением, произведение двух перестановок а, b - это такая третья перестановка с, которая равносильна последовательному выполнению сначала перестановки а, а затем b. Например,


и т. д.
5.
Теперь - что такое группа. Сосредоточьтесь, пожалуйста. Точное современное определение таково:
группой называется любое множество G, на котором задана двуместная алгебраическая операция, т. е. правило, сопоставляющее каждым двум элементам из G определенный третий элемент из G (сама операция может называться по-разному - сложением, умножением, композицией и т. д. - дело не в названии), причем выполняются следующие аксиомы:

а) операция ассоциативна, т. е. (ab)c = a(bc) для любых а, b, с из G;

б) G содержит единичный элемент, т. е. такой элемент е, что ае = еа = а для любого а из G;

в) для всякого а из G существует обратный элемент, т. е такой элемент a-1 из G, что aa-1 = a-1a = e.

Мы приняли в этом определении запись операции в виде умножения, но можно было бы употребить и какой-нибудь другой значок - плюс, кружочек, звездочку и т. п., тогда аксиомы группы надо было бы переписать в виде

(a + b) + c = a + (b + c) и т. д.

Заметим, что единичный элемент в группе может быть только один (действительно, если е', е" – единичные элементы, то е'=е' е"=е") и для каждого элемента а обратный к нему элемент тоже только один (действительно, если х, у - обратные к а, то х = хе = х(ау) = (ха)у = еу = у), поэтому никаких недоразумений с обозначениями е и a-1 быть не может: под каждым из этих обозначений скрывается точно один объект, а не несколько, что могло бы приводить к путанице и ошибкам.

С примерами групп читатель на самом деле прекрасно знаком по школьному курсу математики, хотя термин "группа" скорее всего и не употреблялся в школе. (Так, известный персонаж Мольера долгое время не подозревал, что всю жизнь говорит прозой.)

Например, группу составляют целые числа относительно сложения, рациональные числа без нуля относительно умножения, векторы относительно сложения (по правилу параллелограмма). Проверьте в качестве упражнения аксиомы а), б), в) во всех этих примерах. Вот еще упражнение: докажите, что во всякой группе (аb)-1 = b-1a-1, но, вообще говоря, не a-1b-1. (Сравните: если а - надеть рубашку, b - надеть пиджак, то (ab)-1 - снять пиджак, а затем рубашку, но не наоборот.)

Для нас важно сейчас, что множество Sn всех перестановок n символов относительно умножения, определенного в предыдущем пункте, - тоже группа. Действительно, нетрудно проверить, что для любых трех перестановок а, b, с из Sn перестановки (аb)с и а(bс) действуют на каждый символ 1, 2, ...,n одинаково, а именно как перестановка а, после которой выполнена b, а после нее - с; таким образом, всегда (аb)с=а(bс). Далее, единичной перестановкой, как легко сообразить, является

а обратная перестановка задается формулой

Если операция в группе названа сложением и обозначена плюсом, то и другие термины заменяются на более привычные в соответствии со словариком:

Подчеркнем, наконец, что операция в группе не всегда коммутативна, т. е. не всегда подчиняется аксиоме: ab = ba для всех элементов а, b. Если же операция коммутативна, то и группа называется коммутативной. Например, группа целых чисел относительно сложения коммутативна, а группа перестановок Sn при n З не коммутативна (докажите!).

6. Число примеров групп можно сильно увеличить, если воспользоваться следующим понятием: часть Н группы G называется ее подгруппой, если Н замкнута относительно умножения и взятия обратных элементов, т. е. вместе с любыми двумя своими элементами а, b содержит ab и а-1. Понятно, что такая Н сама является группой относительно операции, имеющейся в G. Если Н - подгруппа группы G, то пишут H G. Например, четные числа относительно сложения составляют подгруппу группы целых чисел относительно сложения, но группа рациональных чисел без нуля относительно умножения не является подгруппой группы действительных чисел относительно сложения: хотя первое множество - часть второго, операции в них различны!

У п р а ж н е н и е. Докажите, что перестановки, соответствующие преобразованиям куба, составляют подгруппу группы S8

Еще пример. Пусть G - произвольная группа, а - ее элемент. Докажите, что всевозможные степени этого элемента

составляют подгруппу; она называется циклической подгруппой, порожденной элементом а. Название вызвано тем, что если am = e при каком-то m > 0 (впрочем, такого m может и не быть), то дальнейшие значения степеней циклически повторяются: am+1 =а, аm+2 = a2и т. д.

Очевидно, что в каждой группе G есть наибольшая подгруппа - сама G - и наименьшая подгруппа, состоящая только из единичного элемента, - единичная подгруппа Е. Любая другая подгруппа Н группы G заключена между ними:

G H E.

Можно рассматривать и более длинные последовательности вложенных друг в друга подгрупп; всякая такая последовательность

содержащая G и Е, называется матрёшкой подгрупп группы G. Например, если G - группа целых чисел относительно сложения, Gn - ее подгруппа, состоящая из всех целых чисел, делящихся без остатка на n, то в группе G для каждого набора натуральных чисел n1, n2, …, ns можно рассмотреть матрёшку

Допустим теперь, что в каждом члене Нi, данной матрёшки M выделено по элементу аi, причем для каждого элемента х из Hi+1 "сопряженный элемент" аi-1 хаi снова лежит в Hi+1 и каждый элемент у из Н, записывается в виде произведения некоторой степени аim на некоторый элемент из Нi+1; тогда матрёшка M (и сама группа G) называется полициклической. Название объясняется тем, что такая матрёшка как бы собрана из нескольких "циклических секций" - ср. с данным выше определением циклической подгруппы. Нетрудно проверить, например, что все матрёшки, описанные в конце предыдущего абзаца, полициклические. [У к а з а н и е. Возьмите в группе G элемент 1, в Gn1 - элемент n1, в Gn1n2 -элемент n1n2 и т. д.]

7. Скажем сразу, что изучаемое в алгебре понятие поля не имеет никакого отношения не только к тем полям, какие засеваются рожью или пшеницей, но и к электромагнитным и другим полям, известным из физики. Ничего не поделаешь - понятий много, а слов мало - вспомните, например, сколько разных значений у слова "коса"!

Что же называется полем в алгебре?

Поле - это множество К с двумя двуместными операциями, называемыми сложением и умножением, причем относительно сложения оно является коммутативной группой, относительно умножения его элементы, отличные от нулевого, тоже составляют коммутативную группу и, наконец, в К выполняется обычное правило раскрытия скобок:

(а + b)с = ас + bс для любых а, b, с из К.

Многие примеры полей столь же хорошо известны читателю из школьной математики, как и примеры групп (хотя опять-таки без термина "поле"), поле Q рациональных чисел, поле R действительных (или вещественных чисел, поле С комплексных чисел. Вот более неожиданный пример: множество K5 из пяти значков будет полем, если сложение и умножение в нем задать следующими таблицами:

(правило их заполнения таково: действуем со значками без черты, как с обыкновенными числами, а затем берем остаток от деления на 5).

У п р а ж н е н и е. Проверьте для К5 аксиомы поля. Пример этот интересен тем, что числовые поля бесконечны, а поле К5 конечно - в нем всего 5 элементов.

У п р а ж н е н и е. Множество К4 из четырех значков с аналогичными таблицами сложения и умножения полем не является. Множество Z целых чисел с обычными сложением и умножением полем также не является.

У п р а ж н е н и е. Если - комплексные числа, то множество всех чисел вида

где g, h - многочлены от n переменных с рациональными коэффициентами, причем является полем. Оно называется полем, порожденным числами

Преобразование поля К называется его автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т. е.

для любых а, b из K; здесь обозначает образ элемента а и т. д.

У п р а ж н е н и е. Проверьте, что преобразование поля С, переводящее каждое комплексное число u + iv в сопряженное с ним число u - iv, есть автоморфизм поля С.
Докажите также, что при любом автоморфизме любого ноля К нулевой и единичный элементы неподвижны, противоположный элемент переходит в противоположный, а обратный - в обратный, т. е.

8. Наша подготовка закончена. Обратимся теперь к исходному объекту исследования - уравнению

a0xn + a1xn-1 + … + an = 0,

где a0, a1, …, an - заданные числа. Еще Гаусс в конце XVIII века доказал "основную теорему алгебры", гласящую, что при любых a0, a1, …, an данное уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен f(x) может быть разложен на линейные множители

где - некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни через коэффициенты a0, a1, …, an с помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов? Прежде всего, сразу можно считать, что все числа различны, иначе мы поделили бы многочлен f на наибольший общий делитель этого f и его производной f', что дало бы нам новый многочлен с теми же самыми корнями, но уже без повторений (докажите эту небольшую теорему самостоятельно).

Ключевой идеей, поистине прозрением Галуа, явилась мысль связать с каждым алгебраическим уравнением группу всех автоморфизмов его "поля корней" , которые оставляют неподвижным "поле коэффициентов" Q(a0, a1, …, an). Понятно, что это действительно группа, так как если два таких автоморфизма, то автоморфизмы тоже оставляют числа a0, a1, …, an неподвижными.

Как действует любой такой автоморфизм на корни нашего уравнения? Если корень, т. е.

то, применив к обеим частям, получим

т.е. - корень того же уравнения! Другими словами, автоморфизм просто переставляет корни между собой, определяя тем самым некоторую перестановку

Легко сообразить, что произведению автоморфизмов будет отвечать произведение соответствующих перестановок, так что все получающиеся при этом перестановки сами составляют группу. Она называется группой симметрии или группой Галуа уравнения f = 0 и обозначается Gal(f). Понятно, что Gal(f) - подгруппа группы Sn всех перестановок n символов. Оказывается, свойствами группы Галуа и определяется ответ на вопрос о разрешимости данного уравнения в радикалах.
Вот этот знаменитый
К р и т е р и й Г а л у а. Уравнение f = 0 тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(f) обладает полициклической матрёшкой.

9. Читателя-неспециалиста, добравшегося до этого места, можно поздравить - теперь он знает точную формулировку основной теоремы Эвариста Галуа. Доказательство критерия я уже не буду здесь рассказывать, так как это потребовало бы слишком много места и времени (примерно в объеме полугодового университетского курса), но еще важнее другая причина: по моему глубокому убеждению, открытия Галуа принадлежат отнюдь не только алгебре и даже не только математике, но общечеловеческой культуре, и их точное понимание очень желательно для каждого культурного человека; что же касается детальных доказательств, то так и быть - бог с ними, пусть они остаются, по крайней мере в обозримом будущем, уделом специалистов.
Добавлю только несколько замечаний.
Прежде всего, может возникнуть недоумение: "Как можно манипулировать перестановками корней, когда сами корни неизвестны? А если корни будут найдены, то никакие перестановки уже не понадобятся. В чем здесь достижение?"
Оказывается, что группу Gal(f) действительно можно вычислять, н е з н а я корней уравнения f = 0, а пользуясь лишь, так сказать, соображениями симметрии.
Вот пример, который, надеюсь, рассеет возможное недоумение. Рассмотрим уравнение

x4 –x2 + 1 = 0

Конечно, без всякого критерия Галуа видно, что оно биквадратное и легко решается в радикалах, но наша цель сейчас в другом - продемонстрировать на этом простеньком примере, как, не пользуясь знанием корней уравнения, найти его группу Галуа. Сейчас мы убедимся, что это вполне возможно. Прежде всего, заметим, что многочлен

f(x) = x4 –x2 + 1

стоящий в левой части, не разлагается на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами - для выяснения этого имеется несложный общий прием, на котором мы не будем останавливаться. Пусть - какой-нибудь корень нашего уравнения.
Понятно, что тогда - тоже корни, причем все они попарно различны. Занумеруем их: пусть

Очевидно,

Какие перестановки войдут в группу Gal(f)? Разумеется, далеко не все 24 перестановки четырех символов. В самом деле, если при каком-то автоморфизме поля число переходит в , т. е. остается на месте, то легко понять, что числа тоже останутся на месте (примите во внимание упражнение перед п. 8). Другими словами, получится единичная перестановка е. Далее, если перейдет в , то по той же причине получится перестановка

Наконец, при получатся перестановки

Так как все возможности для образа корня мы перебрали, никакие другие перестановки появиться не могут.
С другой стороны, можно убедиться, что все четыре перестановки е, а, b, с действительно возникают из автоморфизмов поля , так что они и составляют группу Gal(f) нашего уравнения. В самом деле, рассмотрим, например, подстановку а (для подстановок b, с рассуждение совершенно аналогично). Если, как мы собираемся доказать, автоморфизм поля , соответствующий подстановке а, существует, то он обязан действовать так:

где g, h - произвольные многочлены с рациональными коэффициентами, причем h(a) =/= 0 (учтите, что автоморфизм обязан переводить сумму в сумму и произведение в произведение). Ясно, что эту формулу и следует взять за определение искомого автоморфизма. Тонкость состоит в том, что число может быть записано многими разными способами:

и нужно убедиться, что при замене на все эти равенства сохранятся. Иначе говоря, если p = gh1 – g1h и р(a) = 0, то и р(a2) = 0. Чтобы доказать это, поделим р на исходный многочлен f с остатком:

p(x) = f(x)q(x) + r(x);

остаток r(x) - это многочлен степени не выше третьей. Так как , то и . Предположим на время, что г(х) =/= 0. По школьной теореме Безу многочлены f(x), r(x) имеют общий делитель х-а; пусть d(x) - их наибольший общий делитель. Очевидно, d(x) имеет степень не ниже первой и не выше третьей и делит многочлен f(x) а это противоречит неразложимости последнего на множители. Полученное противоречие означает, что r(х) = 0, т. е.

p(x) = f(x)q(x)

Положив здесь , получаем требуемое равенство (а вместе с ним и два других равенства ). Точно так же из следует и т. д. Итак,

Gаl(f) = {е, a, b, с}.

Как видите, группа Галуа найдена, и значения корней при этом не понадобились!

У п р а ж н е н и е. Докажите, что

Gаl(f) = {е, a, b, с}, Н = {е, а}, Е = {е} 

- подгруппы группы Gаl(f), составляющие полициклическую матрёшку.
В заключение несколько слов об общем уравнении

a0xn + a1xn-1 + … + an = 0

где a0, a1, …, an - буквенные коэффициенты. Можно показать (опять-таки не пользуясь значениями корней), что группой Галуа этого уравнения будет группа всех перестановок Sn. Обладает ли она полициклической матрёшкой подгрупп? Если n 4, то да (докажите!). Если же n 5, то группа Sn не имеет полициклических матрёшек, - это уже довольно трудная теорема, тоже доказанная Эваристом Галуа. Следовательно, общее уравнение степени n 5 неразрешимо в радикалах.
Теперь вы видите, как ярко освещает критерий Галуа всю рассмотренную здесь проблематику, объясняя с единой точки зрения и разрозненные результаты средневековых авторов, полученные для n 4, и упоминавшуюся выше теорему Абеля для n 5.

10. Теория Галуа отнюдь не принадлежит одной только истории, она живет и развивается. Вот пример крупной проблемы, решенной пока лишь в отдельных частных случаях (обратная задача теории Галуа): всякая ли группа перестановок может быть группой Gal(f) для некоторого уравнения f = 0 с рациональными коэффициентами?

Заканчивая этот краткий очерк идей Галуа, подчеркну еще раз, что главная ценность трудов Галуа состоит даже не в конкретных полученных им результатах, а в разработанном для их получения математическом аппарате, центральное место в котором занимает понятие группы. Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании. Строго говоря, теория разрешимости уравнений в радикалах важна не столько сама по себе и уж во всяком случае не для практического решения алгебраических уравнений - тут гораздо уместнее и надежнее приближенные методы, - она важна главным образом как конкретное воплощение общей идеи симметрии. По-видимому, сам Галуа достаточно хорошо понимал это и, выдвигая на первый план критерий разрешимости уравнений в радикалах, просто надеялся, что современникам будет легче оценить силу его общих идей на примере конкретной задачи, в течение многих веков не поддававшейся решению.
Позднее, по мере все более глубокого понимания работ Галуа о группах симметрии алгебраических уравнений, в науку были введены и детально исследованы "группы симметрии" многих других важных математических объектов, в том числе дифференциальных уравнений и даже физических законов (в работах Анри Пуанкаре), - с этой точки зрения "группой Галуа" классической механики является группа Галилея, а механики теории относительности - группа Лоренца.
Шестьдесят страниц, написанных Эваристом Галуа накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп - основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира - симметрию. Важную роль в развитии теории групп как самостоятельной математической дисциплины сыграла вышедшая в 1916 году монография "Абстрактная теория групп" нашего соотечественника О. Ю. Шмидта - тоже революционера и математика, Героя Советского Союза, прославленного полярного исследователя, а ее современное изложение читатель может найти, например, в книге М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова "Основы теории групп" (3-е изд.- М.: Наука, 1982). Многие выдающиеся результаты этой теории принадлежат советским ученым.


[22] См. раздел "Документы", п. 2.

[23] См. раздел "Документы", п. 2.

[24] Характерным примером из области точных наук может служить миф об Эйнштейне как о создателе теории относительности - см. по этому поводу сборник первоисточников "Принцип относительности" (М.: Атомиздат, 1973), книгу В. П. Визгина "Релятивистская теория тяготения" (М.: Наука, 1981) и сборник "Современные проблемы математики", том 21 (М.: ВИНИТИ, 1982).

[25] Полное имя: Абу Абдулла Абу Джафар Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми. В сентябре 1979 года в г. Ургенче Узбекской ССР состоялся Международный симпозиум, посвященный 1100-летию термина "алгоритм", происхождение которого обязано прозвищу легендарного Мухаммеда.



 
 
В библиотеку
Содержание